確率と確率分布 / 推定、検定 / 回帰分析

2. 確率と確率分布

A. 確率

a. 標本空間、事象

b. 確率、条件付き確率 (2015 60

・順列 nPkn(n-1) (n-2)
(n-3)…(n-k+1)

・組合せ nCknPk÷k

 

c. 離散型確率変数、連続型確率変数

d. 大数の法則、中心極限定理

 

B. 確率分布

a. 離散型確率分布、連続型確率分布 

b. 自由度

c. 二項分布、ポアソン分布、正規分布、t分布、χ2 分布、F 分布 (2017 282013 63
離散型
:「二項分布」「ポアソン分布

連続型
:「正規分布」「
t分布」「F分布」「ラプラス分布」「χ2 分布

 

d. 期待値、分散

 

確率密度関数 (2017 27

 連続確率変数の確率分布を規定する関数を確率密度関数

確率変数X 連続的な値をとる連続確率変数であるときに X がある範囲 [a, b] をとる確率を P とした場合,その確率を与える以下の関数 f(x) を確率密度関数という。

確率密度関数

確率質量関数2017 27

 離散確率変数の確率分布を規定する関数を確率質量関数

確率変数X 離散的な値をとる離散確率変数であるときに X x をとる確率を P とする場合,その確率を与える以下の関数 f(x) を確率質量関数という。単に,確率関数という場合もある。

 確率質量関数

3. 推定、検定

A. 推定 

a. 点推定、区間推定 (2014 64

・点推定
:平均値などを一つの値で推定すること

・区間推定
:平均値などをある区間でもって推定すること(
2014 64

b. 信頼区間
:平均値などの値がある確率でその区間にあることで、その確率を信頼水準という
 信頼水準を大きくすると(外れる確率が小さくすると)、信頼区間は広がり(推定が甘くなる)
 標本数が大きい:信頼区間の幅が狭い(精度が高い

 

c. 一致性、不偏性、有効性  

d. モーメント法、最尤法  

e. ベイズ推定  

f. モンテカルロ法 

g. ブートストラップ法

 

B. 統計的仮説検定

a. 帰無仮説、対立仮説 (2013 63

 立証したい命題H1対立仮説

 H1を否定した命題H0帰無仮説

帰無仮説が成立しているが棄却する確率α有意水準

 

〇統計的仮説検定の手順

確率1-α0.95or0.9995or99%)で判定 α:有意水準

  有り得ない               有り得る

仮説H0と矛盾する        仮説H0と矛盾しない

                      

H0を棄却(否定)        H0を保留(肯定ではない)

                      

確率1-α95or99%)で     確率1-α95or99%)でしか

H1は正しい(A≠B)といえる  H0は正しい(AB)と言えない

                       

              H1は正しい(A≠B)とは言えない

*確率5%(1%)は間違っている可能性もあることに留意する

 

b. p値〈有意確率〉、αエラー〈第一種過誤〉、βエラー〈第二種過誤〉、検出力〈検定力〉 

 

母集団の真の状態

下した結論

採択

誤(第2種過誤)過誤確率β

棄却

誤(第1種過誤)過誤確率α

α:有意水準

小さい方が良いが、棄却が難しくなる

1-β:検出力

間違った仮説を正しく棄却する確率で、標本数の調整によって小さくした方が良い

 

c. 両側検定、片側検定

d. パラメトリック検定、ノンパラメトリック検定

・パラメトリック検定

 データが正規分布に従う  以下のフローチャートで平均値の差の検定を開始

・ノンパラメトリック検定 (2016 192013 63)

 データが正規分布に従わない

 Ex)Steel-Dwass2群ごとにMann-WhitneyU検定、

2条件ごとにWilcoxonの符号順位検定を適用後Bonferroniの調整

 

e. 対応のない検定、対応のある検定  

f. 平均値の検定、分散の検定、比率の検定 (2013 63

 対応有:対応がある場合のt-検定

対応無、分散が等しい:t-検定

 対応無、分散が等しくない:Welch検定

平均値の検定

g. 適合度の検定:χ2 検定

h. 等分散の検定:F-検定

i. 独立性の検定:χ2 検定

j. 平均値の差の検定、比率の差の検定  

k. 2 群間の検定、多群間の検定

 

バートレット検定

 複数の群それぞれの分散の均一性の検定

 

フリードマン検定

 データの正規性を考慮せず、2変数の3つ以上のグループ差の検定

4. 回帰分析

A. 単回帰分析

a. 説明変数〈独立変数、内的基準〉、目的変数〈従属変数、基準変数〉、潜在変数〈交絡因子〉

b. 線形回帰分析  c. 共分散  d. 相関係数  e. ロジスティック回帰分析

 

B. 多変量解析

a. 重回帰分析

b. 主成分分析 (2016 20)

 相関のある多数の変数から、相関のない少数で全体のばらつきを最もよく表す主成分、と呼ばれる変数を合成する多変量解析の手法。データの次元を削減するために用いられる。

 Karhunen-Loéve 変換(KL変換):元の画素値を各主成分に変換する式の直交変換

 

c. 因子分析  d. 数量化理論  e. クラスター分析  f. その他

 

 

 

5. 医学統計

A. 人口統計  

B. 健康指標(生命表、指標)  

C. 生存率算出規約  

D. 生存時間解析 

a. イベント、観察時間  

b. 生存関数、ハザード関数  

c. カプラン・マイヤー法  

d. コックス回帰分析 

e. ログランク検定

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